Etude d'une suite

On considère la suite u_n définie par et .

1) En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10^-3 près, compléter le tableau suivant :

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
un	0

Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite u_n ?

2) Calculer les valeurs exactes de u₁, u₂, u₃, u₄. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression de u_n en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence.

3) En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite u_n est croissante et que sa limite est 1.

4) On se propose ici de retrouver l'expression de u_n en fonction de n par une autre méthode.

On considère la suite v_n définie par .

a) Calculer v₀, v₁, v₂, v₃, v₄. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite v_n ?

b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de v_n en fonction de n, puis une expression de u_n en fonction de n.

(voir la solution ici...)

Etude d'une équation différentielle

On se propose d'étudier les fonctions f dérivables sur [0;+∞[ vérifiant les conditions :

- (1) pour tout réel x de [0;+∞[, f (x).f '(x) = 1

- (2) f (0) = 1

Partie 1

On suppose qu'il existe une fonction f  vérifiant les conditions précédentes.

En utilisant la méthode d'Euler avec un pas égal à 0,1, déterminer des valeurs approchées de f(x) pour x allant de 0,1 à 0,5.

Partie 2

On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant les conditions (1) et (2) est nécessairement strictement positive sur [0;+∞[.

a) Montrer que si la fonction f  vérifie les conditions (1) et (2), alors f  ne s'annule pas sur [0;+∞[.

b) On suppose que la fonction f  vérifie les conditions (1) et (2) et qu'il existe un réel a strictement positif tel que f (a) < 0.  Qu'en déduit-on pour l'équation f(x)=0 sur [0; a] ?

c) Que peut-on conclure ?

Partie 3

a) Soit f  une fonction vérifiant les conditions (1) et (2) et soit g la fonction définie sur [0; +∞[ par g(x) = [f (x)]² - 2x. Démontrer que g est une fonction constante et déterminer cette constante.

b) Déduire des questions précédentes l'expression de f (x) pour x réel positif.

c) En utilisant cette expression, déterminer les valeurs arrondies au millième de f(0,1), f(0,2), f(0,3), f(0,4) et f(0,5). Comparer ces valeurs avec celles obtenues avec la méthode d'Euler.