tag:blogger.com,1999:blog-14642304483064830392024-03-07T19:34:45.278-08:00ExomathiquesBruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.comBlogger23125tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-22133946266648430622010-04-30T11:19:00.001-07:002010-04-30T11:20:41.535-07:00Ce blog a été déplacé Ce blog est désormais accessible à l'adresse http://exomathiques.blogspot.com/. Vous allez être automatiquement redirigé dans 30 secondes. Sinon, cliquez <a href='http://exomathiques.blogspot.com/'>ici</a>. Pour les abonnés au flux, mettez à jour vos abonnements sur le site http://exomathiques.blogspot.com/feeds/posts/default.
Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-10612548671617017712010-01-29T11:38:00.000-08:002010-01-29T11:39:49.478-08:00Exercices Wims : logarithmes<ul>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=simplify1&qnum=5&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Simplifications de base</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=ineqlnprof&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Inéquation résolue en ln</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=ineqln&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Inéquation avec logarithmes (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=ineqln2&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Inéquation avec logarithmes (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=signeln1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Signe d'une expression avec ln (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=signeln2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Signe d'une expression avec ln (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=ln1&qnum=4&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Réécriture avec des logarithmes (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=ln2&qnum=4&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Réécriture avec des logarithmes (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=lnsuitegeo&qnum=3&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Logarithme et suites géométriques</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/algpptylnexp.fr&cmd=new&exo=qcmln&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Etude d'une fonction logarithme (QCM)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFCalcLimLnExp.fr&cmd=new&exo=qcmref&qnum=4&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Limites de référence (Quizz)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/oeftablvar.fr&cmd=new&exo=log&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Variations avec logarithme (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/oeftablvar.fr&cmd=new&exo=log2&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Variations avec logarithme (2)</a></li>
</ul>
<p><i>Source de la feuille wims <a href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/wims/logarithmes.wims" target="_blank">ici</a>...</i></p>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-34811455799778459972010-01-24T02:31:00.001-08:002010-01-24T02:31:39.452-08:00<h1>
<a href="http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_826dbnc2dfq" id=xlz- title="Un truc de banquier">Un truc de banquier</a><br>
</h1>
<h2>
Partie A
</h2>
<p>
On place un capital C<sub>0</sub> avec intérêts composés au taux de 5%. On appelle C<sub><i>n</i></sub> le capital obtenu au bout de <i>n</i> années.
</p>
<p>
1) Démontrer que la suite C<sub><i>n</i></sub> est une suite géométrique, puis exprimer C<i><sub>n</sub></i> en fonction de C<sub>0</sub> et de <i>n</i>.
</p>
<p>
2. a) A l'aide d'un tableur, construire un tableau à 2 colonnes donnant le capital C<sub><i>n</i></sub> obtenu au bout de <i>n</i> années, pour <i>n</i> allant de 0 à 50 et pour C<sub>0</sub>=1000€. Combien faut-il d'années pour que le capital dépasse 2000€ ?<br>
</p>
<p>
b) En modifiant C<sub>0</sub> indiquer combien il faut d'années pour que le capital passe de 500€ à 1000€, puis de 1600€ à 3200€, et de 150€ à 300€ ?<br>
</p>
<p>
c) Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats précédents ?<br>
</p>
<p>
3) En utilisant la fonction logarithme népérien déterminer à partir de quelle valeur de <i>n</i> on a 1,05<sup><i>n</i></sup> ≥ 2 ? Expliquer pourquoi la réponse à cette question confirme la conjecture précédente.
</p>
<p>
<br>
</p>
<h2>
Partie B<br>
</h2>
<p>
Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d'un capital, placé à intérêts composés, de la façon suivante :
</p>
<p>
"Si <i>t</i> est le taux d'intérêt (en %), le capital double au bout de <img alt="\frac {70} t" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%20%7B70%7D%20t" style=VERTICAL-ALIGN:middle> années."
</p>
<p>
1) Cette règle est-elle confirmée par les résultats de la partie A ?<br>
</p>
<p>
2) Etablir, pour <i>x</i> ≥ 0, l'encadrement :
</p>
<p style=TEXT-ALIGN:center>
<img alt="x-\frac{x^2} 2 \leq \text{ln}(1+x)\leq x" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=x-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%202%20%5Cleq%20%5Ctext%7Bln%7D%281%2Bx%29%5Cleq%20x" style=VERTICAL-ALIGN:middle><br>
</p>
<p>
3) En déduire un majorant de l'erreur dans l'approximation ln(1+<i>x</i>) ≈ <i>x</i>.
</p>
<p>
4) On rappelle qu'au bout de <i>n</i> années de placement au taux <i>t</i>, la valeur d'un capital est multipliée par <img alt="\left(1+\frac t {100} \right)^n" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cleft%281%2B%5Cfrac%20t%20%7B100%7D%20%5Cright%29%5En" style=VERTICAL-ALIGN:middle>.<br>
</p>
<p>
Justifier le calcul des banquiers pour les petites valeurs de <i>t</i> (<i>t</i> ≤ 14).
</p>
<p>
5) Enoncer des règles analogues pour déterminer mentalement le temps au bout duquel un capital triple, quintuple, décuple.
</p>
<p>
<br>
</p>
<p style="MARGIN-LEFT:0pt; MARGIN-RIGHT:0pt">
</p>
<p>
Un corrigé est disponible <a href=http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/devoirs-2009-2010/un-truc-de-banquier-cor.pdf id=oay1 title="corrigé au format pdf">ici</a>...
</p>
<br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-89550082081566497092009-12-12T09:50:00.001-08:002009-12-12T09:50:46.152-08:00<h1>
<a href="http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_769db46d5c2" id=ayi0 target=_blank title="Calculs sur les nombres complexes">Calculs sur les nombres complexes</a><br>
</h1>
<p style=TEXT-ALIGN:center>
<i>Tous les résultats doivent être donnés sous la forme algébrique des nombres complexes.</i>
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
1) On donne <i>z</i><sub>1</sub> = 5 - 2<i>i</i> et <i>z</i><sub>2</sub> = -2 + 7<i>i</i>. Calculer <img alt="3z_1 - 5\bar{z_2}" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=3z_1%20-%205%5Cbar%7Bz_2%7D" style=VERTICAL-ALIGN:middle> et <img alt="3\bar{z_1} - 5z_2" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=3%5Cbar%7Bz_1%7D%20-%205z_2" style=VERTICAL-ALIGN:middle>.
</p>
<p style="MARGIN-LEFT:0pt; MARGIN-RIGHT:0pt">
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
2) On donne <i>z</i><sub>1</sub> = 4 - 3<i>i</i> et <i>z</i><sub>2</sub> = -3 + <i>i</i>. Calculer <i>z</i><sub>1</sub><i>z</i><sub>2</sub> , puis <img alt=\bar{z_1}\bar{z_2} class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cbar%7Bz_1%7D%5Cbar%7Bz_2%7D" style=VERTICAL-ALIGN:middle>.<br>
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
3) Calculer <img alt=\frac{1+2i}{4-5i} class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B1%2B2i%7D%7B4-5i%7D" style=VERTICAL-ALIGN:middle>.
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
4) Soit <i>z</i> = 2 - <i>i</i>. Calculer <i>z</i><sup>2</sup> et <i>z</i><sup>3</sup>.
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
5) On donne <i>z</i><sub>1</sub> = 3 + 4<i>i</i> et <i>z</i><sub>2</sub> = 2 - 3<i>i</i>. Calculer <i>z</i><sub>1</sub><i>z</i><sub>2</sub> , |<i>z</i><sub>1</sub>|, |<i>z</i><sub>2</sub>| et |<i>z</i><sub>1</sub><i>z</i><sub>2</sub>|.
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
6) On donne <i>z</i><sub>1</sub> = 1 - 5<i>i</i> et <i>z</i><sub>2</sub> = -2 - <i>i</i>. Calculer |<i>z</i><sub>1</sub>|, |<i>z</i><sub>2</sub>| et |<i>z</i><sub>1</sub><i> + z</i><sub>2</sub>|.
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
7) Résoudre dans ℂ l'équation <i>z</i> - 5<i>i</i> = <i>iz</i> + 2.
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
8) Résoudre dans ℂ l'équation <i>z</i><sup>2</sup> + <i>z</i> + 2 = 0.<br>
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
9) Résoudre dans ℂ l'équation <img alt="2z - i\bar{z}=1" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=2z%20-%20i%5Cbar%7Bz%7D%3D1" style=VERTICAL-ALIGN:middle>.
</p>
<p>
<br>
</p>
<p>
10) Démontrer que pour tout complexe <i>z</i> non nul, <img alt="\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cbar%7Bz%7D%7D%7B%7Cz%7C%5E2%7D" style=VERTICAL-ALIGN:middle>. En déduire les solutions dans ℂ de l'équation <img alt="\frac{1}{z}-\bar{z}=0" class="ee_img tr_noresize" eeimg=1 src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D-%5Cbar%7Bz%7D%3D0" style=VERTICAL-ALIGN:middle>.<br>
</p>
<p>
<br>
</p>
<br>
La correction se trouve <a href=http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/devoirs-2009-2010/calculs-complexes-cor.pdf id=xgla target=_blank title=ici>ici</a> ...<br>
<br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-16268319692150906392009-12-09T09:03:00.001-08:002009-12-09T09:15:21.282-08:00<h1>
<a href="http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_779ft3w68f8" id="a2a2" title="Etude de fonction avec exponentielle">Etude de fonction avec exponentielle</a><br>
</h1>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;">
</p>
<h2>
Partie A<br>
</h2>
<p>
On considère g la fonction définie sur ℝ par <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>e<sup>x</sup></i>+ <i>x</i> - 1.<br>
1. Calculer la dérivée de <i>g</i> et en déduire les variations de la fonction <i>g</i>.<br>
2. Calculer les limites de <i>g</i> en -∞ et en +∞.<br>
3. Dresser le tableau de variations de la fonction <i>g</i>.<br>
4. Calculer <i>g</i>(0) et en déduire le signe de <i>g</i>(<i>x</i>).<br>
<br>
</p>
<h2>
Partie B
</h2>
<p>
La fonction <i>f</i> est définie sur ℝ par <img alt="f(x)=\frac{(x-2)e^x}{e^x+1}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B%28x-2%29e%5Ex%7D%7Be%5Ex%2B1%7D" style="vertical-align: middle;">.<br>
1. Déterminer <img alt="\lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)} " class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Clim_%7Bx%20%5Crightarrow%20-%5Cinfty%7D%7Bf%28x%29%7D%20" style="vertical-align: middle;">. Que peut on en déduire au voisinage de -∞ ?<br>
On notera ∆' l'asymptote à C<sub><i>f</i></sub> en -∞.<br>
2. Déterminer <img alt="\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)} " class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Clim_%7Bx%20%5Crightarrow%20%2B%5Cinfty%7D%7Bf%28x%29%7D%20" style="vertical-align: middle;">.<br>
3. Montrer, que pour tout réel <i>x</i>, <img alt="f(x)=x-2-\frac{x-2}{e^x+1}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29%3Dx-2-%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Be%5Ex%2B1%7D" style="vertical-align: middle;">.<br>
4. En déduire que la droite ∆ d'équation <i>y</i> = <i>x</i>-2 est asymptote oblique à C<sub><i>f</i></sub> en +∞.<br>
5. Montrer que, pour tout réel <i>x</i>, <img alt="f'(x)=\frac{e^x \times g(x)}{(e^x+1)^2}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7Be%5Ex%20%5Ctimes%20g%28x%29%7D%7B%28e%5Ex%2B1%29%5E2%7D" style="vertical-align: middle;">.<br>
6. En vous servant de la partie A, déterminer le signe de <i>f '</i>(<i>x</i>).<br>
7. En déduire les variations de <i>f</i> et dresser son tableau de variations.<br>
8. Déterminer la position de C<sub><i>f</i></sub> par rapport à ses asymptotes.<br>
9. Tracer ∆, ∆' et C<sub><i>f</i></sub> dans un repère orthonormal.
</p>
<p>
<br>
<br>
</p>
La correction se trouve <a href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/devoirs-2009-2010/dsc03-cor.pdf" id="d4qy" target="_blank" title="ici">ici</a> ...<br>
<br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-45937978213436286102009-12-08T10:22:00.001-08:002009-12-08T10:22:23.625-08:00<div><div><h1>Sommes d'entiers</h1>
<h2>Somme des entiers naturels de 1 à n</h2><blockquote><p><img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=1%2B2%2B...%2Bn%3D%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D" alt="1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> ou <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D" alt="\sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"></p></blockquote><h3>Preuves sans mots</h3><p></p><div id="rm4q" style="text-align: left;"><p><img style="width: 300px; height: 320.912px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_771g3tk65dz_b">ou<img style="width: 300px; height: 349.118px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_772ch5w46dv_b"></p></div><br>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><h2>Somme des premiers nombres impairs</h2><blockquote><p><img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=1%2B3%2B5%2B...%2B%282n-1%29%20%3D%20n%5E2" alt="1+3+5+...+(2n-1) = n^2" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> ou <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%282k-1%29%7D%20%3Dn%5E2" alt="\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)} =n^2" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"></p></blockquote><h3>Preuve sans mots</h3><p></p><div id="tuo0" style="text-align: left;"><img style="width: 320px; height: 365.39px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_773fjgpv9cg_b"></div><br><h2>Somme des carrés des entiers naturels de 1 à n</h2><blockquote><p><img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=1%5E2%2B2%5E2%2B...%2Bn%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D" alt="1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> ou <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bk%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%282n%2B1%29%7D%7B6%7D%20" alt="\sum_{k=1}^{n}{k^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} " class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"></p></blockquote><h3>Preuves sans mots</h3><p></p><div id="lj_0" style="text-align: left;"><img style="width: 300px; height: 333.714px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_774f787hmpm_b"> ou <img style="width: 300px; height: 317.678px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_775hb7smzc3_b"></div><p><br></p><h2>Somme des cubes des entiers naturels de 1 à n</h2><blockquote><p><img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=1%5E3%2B2%5E3%2B...%2Bn%5E3%20%3D%20%5Cleft%28%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2" alt="1^3+2^3+...+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> ou <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bk%5E3%7D%20%3D%20%5Cleft%28%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2" alt="\sum_{k=1}^{n}{k^3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"></p></blockquote><h3>Preuves sans mots<br></h3><p></p><p></p><div id="v4ha" style="text-align: left;"><img style="width: 300px; height: 353.552px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_777d9krw3fq_b">ou<img style="width: 300px; height: 273.98px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_7784p4jxt29_b"></div><p><br></p><p><br></p><h2>Problème 1<br></h2><p>On écrit la suite des nombres impairs pour former un triangle comme ci-dessous :</p><p></p><div align="center"><table class="zeroBorder" id="zagu" border="0" bordercolor="#000000" cellpadding="3" cellspacing="0"><tbody><tr><td width="14%"> 1 <br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%">1<br></td></tr><tr><td width="14%"> 3 <br></td><td width="14%"> 5 <br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%">8<br></td></tr><tr><td width="14%"> 7 <br></td><td width="14%"> 9 <br></td><td width="14%"> 11 <br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%">27<br></td></tr><tr><td width="14%"> 13<br></td><td width="14%"> 15<br></td><td width="14%"> 17<br></td><td width="14%"> 19<br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%">64<br></td></tr><tr><td width="14%"> 21<br></td><td width="14%"> 23<br></td><td width="14%"> 25<br></td><td width="14%"> 27<br></td><td width="14%"> 29<br></td><td width="14%"><br></td><td width="14%">125<br></td></tr></tbody></table></div><p>On calcule la somme des termes écrits sur chaque ligne et on voit apparaître une propriété.</p><p>Enoncer cette propriété et la démontrer.<br></p><p><br></p><h2>Problème 2</h2><p>On calcule des sommes de puissances des entiers naturels de 1 à <i>n</i> en utilisant des polynômes.</p><p>1)<i> Somme des entiers de 1 à</i> <i>n</i></p><p>a) Soit P(<i>x</i>) = <i>ax</i><sup>2</sup> + <i>bx</i> + <i>c</i> un polynôme du second degré.</p><p>Déterminer les coefficients <i>a</i>, <i>b</i> et <i>c</i> pour que P(<i>x</i>) - P(<i>x - </i>1) = <i>x</i>.</p><p>b) On considère alors la suite d'égalités :</p><p>P(<i>n</i>) - P(<i>n</i> - 1) = <i>n</i></p><p>P(<i>n</i> - 1) - P(<i>n </i>- 2) = <i>n</i>-1</p><p>P(<i>n</i> - 2) - P(<i>n </i>- 3) = <i>n</i>-2</p><p>...</p><p>P(1) - P(0) = 1</p><p>Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?</p><p>En déduire la formule donnant S<i><sub>n</sub></i> = 1 + 2 + 3 + ... + <i>n</i>.</p><p>2)<i> Somme des carrés des entiers de 1 à</i> <i>n</i></p><p>a) Soit Q(<i>x</i>) = <i>ax</i><sup>3</sup> + <i>bx</i><sup>2</sup> + <i>cx</i> + <i>d</i> un polynôme de degré 3.</p><p>Déterminer les coefficients <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> et <i>d</i> pour que Q(<i>x</i>) - Q(<i>x - </i>1) = <i>x</i><sup>2</sup>.<br></p><p>b) On considère alors la suite d'égalités :
</p><p>Q(<i>n</i>) - Q(<i>n - </i>1) = <i>n<sup>2</sup></i></p>
<p>Q(<i>n</i> - 1) - Q(<i>n </i>- 2) = (<i>n</i>-1)<sup>2</sup></p>
<p>Q(<i>n</i> - 2) - Q(<i>n </i>- 3) = (<i>n</i>-2)<sup>2</sup></p>
<p>...</p>
<p>Q(1) - Q(0) = 1<sup>2</sup></p>
<br><p>Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?</p>
<p>En déduire la formule donnant C<i><sub>n</sub></i> = 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> + ... + <i>n</i><sup>2</sup>.</p>
<p>3) <i>Somme des cubes des entiers de 1 à</i> <i>n</i></p><p>Retrouver la formule donnant D<i><sub>n</sub></i> = 1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup> + ... + <i>n</i><sup>3</sup>. <br></p><br><br><p><b>Sources et compléments :</b></p><p class="title">1 - Les "preuves sans mots" sont tirées du livre "Proofs without words" <span class="addmd">de Roger B. Nelsen. On peut en lire des extraits sur <a title="Google-Livres" target="_blank" href="http://books.google.com/books?id=Kx2cjyzTIYkC&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false" id="p99-">Google-Livres</a>.<br></span></p></div><p>2 - Voir l'article Wikipédia <a title="Somme (arithmétique)" target="_blank" href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_%28arithm%C3%A9tique%29" id="zgy6">Somme (arithmétique)</a></p></div><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-64983975570695855972009-11-26T09:00:00.000-08:002009-11-26T09:01:57.559-08:00Exercices Wims : nombres complexes (1)<ul>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/geometry/OEFcplxTS.fr&cmd=new&exo=opercplx1&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations et complexes (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/geometry/OEFcplxTS.fr&cmd=new&exo=opercplx2&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations et complexes (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/geometry/OEFcplxTS.fr&cmd=new&exo=opercplx3&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations et complexes (3)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/geometry/OEFcplxTS.fr&cmd=new&exo=operconj1&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations et conjugués (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/geometry/OEFcplxTS.fr&cmd=new&exo=operconj2&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations et conjugués (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/geometry/OEFcplxTS.fr&cmd=new&exo=operconj3&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations et conjugués (3)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/geometry/OEFcplxTS.fr&cmd=new&exo=solve2deg&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Equations du second degré</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H3/algebra/arithtable.fr&cmd=new&exo=table2x2&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&confparm1=20&confparm2=2&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Tableau de complexes</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/compshoot.fr&cmd=new&difficulty=1&sign=0&shoots=4&grid=1&unitcircle=1" target="_blank">Tir complexe (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/algebra/compshoot.fr&cmd=new&difficulty=2&sign=0&shoots=4&grid=1&unitcircle=1" target="_blank">Tir complexe (2)</a></li>
</ul>
<p><i>Source de la feuille wims <a href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/wims/complexes-1.wims" target="_blank">ici</a>...</i></p>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-47148092604018020502009-11-24T08:32:00.001-08:002009-11-24T08:32:37.911-08:00<h1>Probabilités et tableur<br></h1>
<h2>A- Etude d'un jeu</h2>On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.<br>Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus.<br>Si la somme obtenue est égale à 9, Alice gagne. Si la somme obtenue est égale à 10, Bob gagne. Dans tous les autres cas la partie est annulée.<br>Le but de l'exercice est de déterminer qui, d'Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner.<br><h3>1) Etude expérimentale</h3>a) Sur un tableur, réaliser une simulation de cette expérience aléatoire.<br>b) Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de taille 1000 de cette expérience aléatoire, et déterminer, pour cette simulation, les fréquences de réussite respectives d'Alice et de Bob.<br>c) Est-il possible de conjecturer qui d'Alice ou de Bob a la plus grande probabilité de gagner ?<br><h3>2) Etude mathématique</h3>Calculer la probabilité de gagner d'Alice et de Bob et indiquer qui d'Alice ou de Bob a la plus grande probabilité de gagner.<br><h2>B- Marche aléatoire</h2> Un pion est placé sur la case de départ :<br><br><div align="center"><table class="" id="zqcg" width="90%" border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="3" cellspacing="0"><tbody><tr><td width="11%"><br></td><td width="11%"><br></td><td width="11%"><br></td><td width="11%"><br></td><td style="text-align: center;" width="11%">Départ<br></td><td width="11%"><br></td><td width="11%"><br></td><td width="11%"><br></td><td width="11%"><br></td></tr></tbody></table></div>Le lancer d'une pièce bien équilibrée détermine le déplacement du pion :<br>- PILE, le pion se déplace vers la droite<br>- FACE, le pion se déplace vers la gauche.<br>Un trajet est une succession de 4 déplacements. On s'intéresse à l'évènement A : "le pion est revenu à la case Départ après 4 déplacements".<br>A chaque lancer, on associe le réel +1 si le résultat est PILE et -1 si le résultat est FACE.<br><h3>1) Etude expérimentale</h3>Simuler à l'aide d'un tableur de 200 à 2000 trajets du pion et estimer la fréquence de l'évènement A.<br>Compléter le tableau suivant :<br><div align="center"><table class="" id="ayj6" width="90%" border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="3" cellspacing="0"><tbody><tr><td>Nombre d'essais<br></td><td style="text-align: center;">200<br></td><td style="text-align: center;">400<br></td><td style="text-align: center;">600<br></td><td style="text-align: center;">800<br></td><td style="text-align: center;">1000<br></td><td style="text-align: center;">1200<br></td><td style="text-align: center;">1400<br></td><td style="text-align: center;">1600<br></td><td style="text-align: center;">1800<br></td><td style="text-align: center;">2000<br></td></tr><tr><td>Fréquence de A<br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td><td><br></td></tr></tbody></table></div> <br><h3>2) Etude mathématique</h3>On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme des quatre réels.<br>a) Calculer les valeurs possibles de X et le nombre de trajets possibles.<br>b) Calculer la probabilité de A. <br><p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-30682919560214864442009-11-23T02:02:00.001-08:002009-11-23T10:58:48.846-08:00<h1>Calculs de limites<br></h1>
<p>Calculer les limites suivantes :</p><p><br></p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><div><table class="" id="bc:n" width="100%" border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="3" cellspacing="0" height="100%"><tbody><tr><td valign="top" width="100%" height="100%"><div id="wnpi" style="text-align: left;"><img style="width: 136px; height: 28px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_744c8867pgd_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="clz4" style="text-align: left;"><img style="width: 85px; height: 40px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_745d9chnzd9_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="i164" style="text-align: left;"><img style="width: 85px; height: 40px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_746ch7ffngc_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="bw1y" style="text-align: left;"><img style="width: 98px; height: 40px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_747f62rdbg6_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="y0-4" style="text-align: left;"><img style="width: 107px; height: 43px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_748ghmbgshg_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="utpc" style="text-align: left;"><img style="width: 118px; height: 43px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_749kj5nbb2g_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="ae8k" style="text-align: left;"><img style="width: 129px; height: 42px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_750hjmrm2cp_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="v8k_" style="text-align: left;"><img style="width: 122px; height: 46px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_751ddwjpv35_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="wzr." style="text-align: left;"><img style="width: 86px; height: 37px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_741gcfbh7cp_b"></div><br><br><br></td></tr><tr><td width="100%"><div id="mugk" style="text-align: left;"><img style="width: 94px; height: 42px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_752g6c939ds_b"></div><br><br><br></td></tr></tbody></table></div><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-23646935553257819822009-11-09T06:51:00.000-08:002009-11-09T06:53:12.823-08:00Exercices Wims : limites de fonctions<ul>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFlimiteTS.fr&cmd=new&exo=compare1&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Limites et comparaisons</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFlimiteTS.fr&cmd=new&exo=calcoper6&qnum=4&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations sur les limites (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFlimiteTS.fr&cmd=new&exo=calcoper7&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Opérations sur les limites (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFlimiteTS.fr&cmd=new&exo=limcomp1&qnum=4&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Limites et composition (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFlimiteTS.fr&cmd=new&exo=limcomp2&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Limites et composition (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFlimiteTS.fr&cmd=new&exo=limcomp3&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Limites et variations</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFlimiteTS.fr&cmd=new&exo=vertical6&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Asymptotes verticales</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpolimTS.fr&cmd=new&exo=limites1&qnum=4&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Limites avec exponentielle</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpolimTS.fr&cmd=new&exo=corgraph&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Correspondance de représentations graphiques</a></li>
</ul>
<p><i>Source de la feuille wims <a href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/wims/limites-fonctions.wims" target="_blank">ici</a>...</i></p>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-23074223000055838822009-11-07T11:40:00.001-08:002009-11-07T11:40:37.653-08:00<h1>Devoir de mathématiques<br></h1>
<h2>Exercice 1</h2><p>Soit <i>f</i> la fonction définie sur <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cmathbb%20R" alt="\mathbb R" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> par <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29%3D%5Cfrac%20%7Bx-2%7D%7Be%5Ex%7D" alt="f(x)=\frac {x-2}{e^x}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p>1) Vérifier que <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E2%7D%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Be%5E%7Bx-2%7D%7D" alt="f(x)=\frac{1}{e^2} \times \frac{x-2}{e^{x-2}}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">. En déduire la limite de <i>f</i> lorsque <i>x</i> tend vers <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%2B%5Cinfty" alt="+\infty" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p>
<p>2) Calculer la limite de <i>f</i> lorsque <i>x</i> tend vers <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=-%5Cinfty" alt="-\infty" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p>
<p>3) Calculer <i>f '</i>(<i>x</i>), étudier son signe et en déduire les variations de <i>f</i> . Quel est le maximum de <i>f</i> ?<br></p><h2>Exercice 2</h2><p>(<i>d'après Bac 2004</i>)<br></p><p>Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires.</p><p>1) On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.</p><p>On note <i>A</i><sub>0</sub> l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire".</p><p>On note <i>A</i><sub>1</sub> l'évènement "On a obtenu une seule boule noire".</p><p>On note <i>A</i><sub>2</sub> l'évènement "On a obtenu deux boules noires".</p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><p>Calculer les probabilités de <i>A</i><sub>0</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> et <i>A</i><sub>2</sub>.</p><p>2) Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.</p><p>On note <i>B</i><sub>0</sub> l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire au 2ème tirage".</p>
<p>On note <i>B</i><sub>1</sub> l'évènement "On a obtenu une seule boule noire au 2ème tirage".</p>
<p>On note <i>B</i><sub>2</sub> l'évènement "On a obtenu deux boules noires au 2ème tirage".</p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;">a) Calculer <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=P_%7BA_0%7D%28B_0%29" alt="P_{A_0}(B_0)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=P_%7BA_1%7D%28B_0%29" alt="P_{A_1}(B_0)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=P_%7BA_2%7D%28B_0%29" alt="P_{A_2}(B_0)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;">b) En déduire <i>P</i>(<i>B</i><sub>0</sub>).</p><p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;">c) Calculer <i>P</i>(<i>B</i><sub>1</sub>) et <i>P</i>(<i>B</i><sub>2</sub>).<br></p><p>d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?</p><p>3) On considère l'évènement <i>R</i> "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'urne".</p><p>Montrer que <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=P%28R%29%3D%5Cfrac%201%203" alt="P(R)=\frac 1 3" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.<br></p><br><i>La correction est disponible <a title="ici" target="_blank" href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/devoirs-2009-2010/ds-01-2009-2010-cor.pdf" id="ikh9">ici</a>...</i><br><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-50522557208849786442009-10-30T06:08:00.000-07:002009-11-09T06:03:40.712-08:00Exercices Wims : dérivées<ul>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/oefderivee1S.fr&cmd=new&exo=nbderiv" target="_blank">Nombre dérivé</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/derivation1ere.fr&cmd=new&exo=nbdergraph" target="_blank">Tangente et nombre dérivé</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/exoder.fr&cmd=new&exo=Lecturegraphiq" target="_blank">Lecture graphique du nombre dérivé</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/oefderivee1S.fr&cmd=new&exo=eqtgte1" target="_blank">Nombre dérivé et équation de la tangente</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/oefderivee1S.fr&cmd=new&exo=approxaff" target="_blank">Approximation affine</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/derivation1ere.fr&cmd=new&exo=deriverPoly" target="_blank">Dérivée d'une fonction polynôme</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/derivation1ere.fr&cmd=new&exo=deriverProduit" target="_blank">Dérivée d'un produit</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/analysis/derivation1ere.fr&cmd=new&exo=deriverQuotient" target="_blank">Dérivée d'un quotient</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/quizder.fr&cmd=new&exo=growpos" target="_blank">Croissance et signe</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=U1/analysis/graphder.fr" target="_blank">Dérivée graphique</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=U1/analysis/dialderiv.fr" target="_blank">Dérivée d'une fonction composée (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/oefderiv.fr&cmd=new&exo=comp1" target="_blank">Dérivée d'une fonction composée (2)</a></li>
</ul>
<p><i>Source de la feuille wims <a href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/wims/derivees.wims" target="_blank">ici</a>...</i></p>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-11716054294034355852009-10-24T23:58:00.001-07:002009-10-24T23:58:40.519-07:00<h1>Probabilités. Jouons aux dés.<br></h1>
<p><br></p><p><i>Exercice du concours général 2009</i><br></p><p><br></p><p>Je joue avec 4 dés à 20 faces. Chacun de ces dés, dont la forme est un icosaèdre, a ses faces numérotées de 1 à 20. Lorsqu'on le lance, chaque face apparaît sur le dessus avec la même probabilité de <img class="ee_img tr_noresize" style="vertical-align: middle;" alt="\frac 1 {20}" src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cfrac%201%20%7B20%7D" eeimg="1">.</p>
<p>Lorsque, parmi les 4 dés, une face apparaît au moins deux fois, je marque le nombre de points correspondant à cette face. Ainsi :</p>
<ul>
<li>avec la combinaison 3-4-12-16, je ne marque rien;
</li><li>avec la combinaison 2-8-11-11, je marque 11 points;
</li><li>avec la combinaison 4-9-9-9, je marque 9 points;
</li><li>avec la combinaison 7-7-14-14, je marque 21 points;
</li><li>avec la combinaison 2-2-2-2, je marque 2 points.</li></ul>
<div> </div>
<p>1. Quelle est la probabilité que je ne marque rien ?<br>2. Soit <i>a</i> compris entre 1 et 20. Déterminer pour tout <i>k</i> ≤ 4 la probabilité d'avoir exactement <i>k</i> nombres <i>a</i> parmi les dés lancés.<br>3. Pour tout <i>a</i> on note X<sub><i>a</i></sub> la variable aléatoire qui vaut 1 s'il y a au moins deux dés égaux à <i>a</i> parmi les quatre du lancer, et 0 sinon.<br>Préciser la loi de X<sub><i>a</i></sub> et exprimer le gain G à l'aide de ces variables.<br>Combien de points puis-je espérer en moyenne ?<br>4. Quelle est la probabilité que je marque exactement 8 points ?<br><br>On suppose à partir de maintenant qu'après avoir lancé les 4 dés, je sois autorisé à relancer entre 0 et 4 dés pour améliorer mon score.<br><br>5. J'ai obtebnu 11-7-2-2. J'hésite entre tout relancer, garder le 11 et garder les deux 2. Que dois-je faire ?<br>6. On suppose que j'ai obtenu 4 dés différents <i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > <i>a</i><sub>3</sub> > <i>a</i><sub>4</sub>. Quels dés dois-je relancer ?<br><br></p><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-27821818740020816842009-10-24T06:37:00.000-07:002009-11-09T06:02:45.560-08:00Exercices Wims : fonction exponentielle<ul>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpoderTS.fr&cmd=new&exo=calcder1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Dérivée avec exponentielle (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpoderTS.fr&cmd=new&exo=calcder2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Dérivée avec exponentielle (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=sumprod1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Simplification d'écriture (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=sumprod2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Simplification d'écriture (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=sumprod3&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Simplification d'écriture (3)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=sumprod4&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Simplification d'écriture (4)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=eqexpo1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Equations avec exponentielles (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=eqexpo2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Equations avec exponentielles (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=ineqexpo1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Inéquations avec exponentielles (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpalgTS.fr&cmd=new&exo=ineqexpo2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Inéquations avec exponentielles (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpolimTS.fr&cmd=new&exo=chxgraph&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Choix d'une représentation graphique</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpolimTS.fr&cmd=new&exo=corgraph&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Correspondance de représentations graphiques</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/analysis/OEFexpolimTS.fr&cmd=new&exo=limites1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Limite avec exponentielle</a></li>
</ul>
<p><i>Source de la feuille wims <a href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/wims/exponentielle.wims" target="_blank">ici</a>...</i></p>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-89564731012463182992009-10-21T11:15:00.000-07:002009-11-09T05:54:13.023-08:00Exercices Wims : probabilités<ul>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/probability/OEFproba1S.fr&cmd=new&exo=arbre1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Pourcentages et arbres</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/probability/OEFproba1S.fr&cmd=new&exo=interpret&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Pourcentages et tableaux</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/probability/OEFproba1S.fr&cmd=new&exo=proba1&qnum=5&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Probabilités (1) : évènements incompatibles</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/probability/OEFproba1S.fr&cmd=new&exo=proba2&qnum=5&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Probabilités (2) : intersection, réunion</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/probability/OEFproba1S.fr&cmd=new&exo=equiproba1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Equiprobabilité (1)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/probability/OEFproba1S.fr&cmd=new&exo=equiproba2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Equiprobabilité (2)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H5/probability/OEFproba1S.fr&cmd=new&exo=equiproba3&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Equiprobabilité (3)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/probability/OEFprobaTS.fr&cmd=new&exo=conddef1&qnum=5&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Probabilité conditionnelle 1 (définition et indépendance)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/probability/OEFprobaTS.fr&cmd=new&exo=conddef2&qnum=2&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Probabilité conditionnelle 2 (définition et indépendance)</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/probability/OEFprobaTS.fr&cmd=new&exo=sachant1&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Probabilité conditionnelle et arbre</a></li>
<li><a href="http://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H6/probability/OEFprobaTS.fr&cmd=new&exo=sachant2&qnum=1&qcmlevel=3&scoredelay=&intro_qcmpresent=4&intro_presentsol=1&intro_check=1&intro_check=2&intro_check=3&intro_check=4&intro_expert=yes" target="_blank">Probabilité conditionnelle et tableaux croisés</a></li>
</ul>
<p><i>Source de la feuille wims <a href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/wims/probabilites-1.wims" target="_blank">ici</a>...</i></p>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-7558765332818468232009-10-20T23:56:00.001-07:002009-10-20T23:56:46.740-07:00<h1>Etude d'une fonction avec exponentielle<br></h1>
<h2>Partie A</h2><p>Soit <i>g</i> la fonction définie sur ℝ par <i>g</i>(<i>x</i>) = 1 - <i>e</i><sup>2<i>x</i></sup> - 2<i>xe</i><sup>2<i>x</i></sup>.</p><p>a) Déterminer les limites de <i>g</i> en + ∞ et en - ∞.</p><p>b) Dresser le tableau de variation de <i>g</i> sur ℝ.</p><p>c) Calculer <i>g</i>(0) et en déduire le signe de <i>g</i>(<i>x</i>).</p><br><h2>Partie B</h2><p>Soit <i>f</i> la fonction définie sur ℝ par <i>f</i> (<i>x</i>) = <i>x</i> + 3 - <i>xe</i><sup>2<i>x</i></sup> et <i>C</i> sa courbe représentative dans un repère orthonormal : unité 2cm.</p><p>a) Déterminer les limites de <i>f</i> en + ∞ et en - ∞.</p><p>b) En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de <i>f</i>.</p><p>c) Montrer que la droite D d'équation <i>y</i> = <i>x</i>+3 est asymptote à <i>C</i> en - ∞, puis étudier la position relative de <i>C</i> et D.</p><p>d) Tracer la courbe C et la droite D.</p><br><br>La correction se trouve <a title="ici" target="_blank" href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/expolog/etude-fonc-avec-exp-cor.pdf" id="vdym">ici</a>...<br><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-40154371133720627102009-10-16T02:46:00.001-07:002009-10-16T02:46:39.896-07:00<h1>Méthode d'Euler</h1>
<p>Il arrive souvent en physique qu'on cherche une fonction à partir de renseignements obtenus sur sa dérivée; en effet lorsqu'une fonction dépend du temps, sa dérivée représente la vitesse à laquelle les valeurs de la fonction évoluent. De telles situations se traduisent mathématiquement par des équations différentielles, c'est à dire des équations dans lesquelles l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction dérivable et qui font intervenir la dérivée de la fonction inconnue. Dans une équation différentielle on représente souvent la fonction inconnue par la lettre y et sa dérivée par y'.</p>
<p>Voici un certain nombre d'équations différentielles : </p>
<p>- <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y%27%3D%5Cfrac1%20x" alt="y'=\frac1 x" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> : on cherche une fonction dérivable <i>f</i> qui vérifie <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%27%28x%29%3D%5Cfrac%201%20x" alt="f'(x)=\frac 1 x" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> </p>
<p>- <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=yy%27%3D1" alt="yy'=1" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> : on cherche une fonction dérivable <i>f</i> qui vérifie <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29.f%27%28x%29%3D1" alt="f(x).f'(x)=1" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> </p>
<p>- <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y%27%3D%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D" alt="y'=\sqrt{1-y^2}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y%27%3Dx" alt="y'=x" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y%27%3Dy" alt="y'=y" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, ... </p>
<p>Pour qu'une équation différentielle admette une solution unique, elle est accompagnée d'une condition initiale qui donne l'image <i>y</i><sub>0</sub> d'un réel <i>x</i><sub>0</sub>.</p>
<p>La méthode d'Euler permet de calculer des valeurs approchées des images de certains réels par la fonction <i>f</i> solution d'une équation différentielle. Elle consiste à appliquer plusieurs fois l'approximation affine <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28a%2Bh%29%20%5Capprox%20f%28a%29%2Bhf%27%28a%29" alt="f(a+h) \approx f(a)+hf'(a)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p>
<p><br></p><h2><b>Un exemple</b></h2><p>On considère l'équation différentielle <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y%27%3D%5Csqrt%20x" alt="y'=\sqrt x" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et la condition initiale <i>y</i>(1) = 1.</p><p>On cherche donc une fonction <i>f</i> dérivable telle que <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%27%28x%29%3D%5Csqrt%20x" alt="f'(x)=\sqrt x" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%29%3D1" alt="f(1)=1" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p>Nous choisissons un pas <i>h</i> de 0,1 et nous utilisons l'approximation affine de <i>f</i> pour calculer une valeur approchée de <i>f</i> (1,1) : <br></p><p><img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%2B0%2C1%29%20%5Capprox%20f%281%29%2B0%2C1%20%5Ctimes%20f%27%281%29" alt="f(1+0,1) \approx f(1)+0,1 \times f'(1)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, soit <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%2C1%29%20%5Capprox%201%20%2B%200%2C1%20%5Ctimes%20%5Csqrt%201" alt="f(1,1) \approx 1 + 0,1 \times \sqrt 1" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et finalement <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%2C1%29%20%5Capprox%201%2C1" alt="f(1,1) \approx 1,1" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.<br>
</p>
<p>En partant de la valeur obtenue pour <i>f</i> (1,1), on peut chercher de la même façon une valeur approchée de <i>f</i> (1,2) :</p><p><img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%2C1%2B0%2C1%29%20%5Capprox%20f%281%2C1%29%2B0%2C1%20%5Ctimes%20%5Csqrt%7B1%2C1%7D" alt="f(1,1+0,1) \approx f(1,1)+0,1 \times \sqrt{1,1}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, soit <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%2C2%29%20%5Capprox%201%2C205" alt="f(1,2) \approx 1,205" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p>On peut calculer ainsi, de proche en proche <i>f</i> (1,3), <i>f</i> (1,4), <i>f</i> (1,5), etc...<br></p><img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%2C2%2B0%2C1%29%20%5Capprox%20f%281%2C2%29%2B0%2C1%20%5Ctimes%20%5Csqrt%7B1%2C2%7D" alt="f(1,2+0,1) \approx f(1,2)+0,1 \times \sqrt{1,2}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, soit <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%281%2C3%29%20%5Capprox%201%2C315" alt="f(1,3) \approx 1,315" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"><br><br><p>Evidemment, il s'agit de calculs approchés, et même doublement approchés : ils utilisent d'une part l'approximation affine de <i>f</i> et d'autre part des valeurs approchées de <i>f</i>. Cependant, les résultats calculés permettent d'obtenir une représentation graphique satisfaisante autour du point fourni par la condition initiale. <br></p><p>On peut faire les deux remarques suivantes :</p><p>- plus on s'éloigne du point initial et moins les résultats sont précis</p><p>- plus le pas choisi est petit et plus les résultats sont précis.</p><h2>Ecriture sous forme de suites</h2><p>On considère une équation différentielle de la forme <i>y'</i> = <i>F</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) avec <i>y</i>(<i>x</i><sub>0</sub>)=<i>y</i><sub>0</sub>. On admet qu'une solution <i>f</i> existe et on se propose de calculer des valeurs approchées des nombres <i>f</i>(<i>x</i><sub>0</sub>+<i>nh</i>) en utilisant la méthode d'Euler avec le pas <i>h</i>.</p><p>On définit la suite <i>x<sub>n</sub></i> qui est la suite arithmétique de premier terme <i>x</i><sub>0</sub> raison <i>h</i> et la suite <i>y<sub>n</sub></i> des approximations de <i>f </i>(<i>x<sub>n</sub></i>). (<i>x<sub>n</sub></i>, <i>y<sub>n</sub></i>) sont les coordonnées des points M<sub><i>n</i></sub> qui permettent de construire la représentation graphique de <i>f</i>.<br></p><p>On sait que <i>x<sub>n</sub></i><sub>+1</sub>=<i>x<sub>n</sub></i>+<i>h</i> et que <i>x<sub>n</sub></i> = <i>x</i><sub>0</sub>+<i>nh</i>.</p><p>Pour la suite <i>y<sub>n</sub></i>, rappelons que la fonction <i>f</i> étant inconnue (on sait seulement qu'elle est solution de l'équation différentielle), on devra se contenter de calculer des valeurs approchées en utilisant l'approximation affine de <i>f</i> . Ainsi comme <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y_%7Bn%2B1%7D%3Df%28x_%7Bn%2B1%7D%29%3Df%28x_n%2Bh%29" alt="y_{n+1}=f(x_{n+1})=f(x_n+h)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x_n%2Bh%29%20%5Capprox%20f%28x_n%29%2Bhf%27%28x_n%29" alt="f(x_n+h) \approx f(x_n)+hf'(x_n)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">, on obtient <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y_%7Bn%2B1%7D%20%5Capprox%20y_n%2BhF%28x_n%2Cy_n%29" alt="y_{n+1} \approx y_n+hF(x_n,y_n)" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et on utilise cette relation pour calculer des valeurs approchées des termes de la suite <i>y<sub>n</sub></i>.</p><p>Si on reprend l'exemple précédent avec l'équation différentielle définie par <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y%27%3D%5Csqrt%20x" alt="y'=\sqrt x" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et la condition initiale <i>y</i>(1) = 1, l'application de la méthode d'Euler amène à considérer la suite arithmétique <i>x<sub>n</sub></i> de premier terme <i>x</i><sub>0</sub>=1 et de raison <i>h</i>=0,1, puis la suite <i>y<sub>n</sub></i> définie par <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y_0%3D1" alt="y_0=1" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=y_%7Bn%2B1%7D%3Dy_n%2B0%2C1%5Csqrt%7Bx_n%7D%3Dy_n%2B0%2C1%5Csqrt%7B1%2B0%2C1n%7D" alt="y_{n+1}=y_n+0,1\sqrt{x_n}=y_n+0,1\sqrt{1+0,1n}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p>L'utilisation de ces suites permet d'automatiser les calculs avec un tableur ou une calculatrice.<br></p><br><h2>Exercice</h2><p>Un ballon sonde en caoutchouc, gonflé à l'hélium, s'élève dans l'athmosphère. </p><p>La vitesse ascentionnelle <i>v</i> du ballon est une fonction dérivable du temps; elle vérifie l'équation différentielle (E) : v'(t) = 13,6 – 0,53 [v(t)]<sup>2</sup><br></p><p>Le temps <i>t</i> est exprimé en secondes (s) et la vitesse <i>v</i> en mètres par seconde (m.s<sup>-1</sup>).</p><p>La vitesse initiale du ballon est considérée comme nulle, on a donc <i>v</i>(0) = 0.</p><p>1) Appliquer la méthode d'Euler à l'équation différentielle (E) afin de calculer des valeurs approchées de la vitesse du ballon entre 0s et 1s avec un pas de 0,1s. On arrondira les vitesses à 0,1 près. Reproduire et compléter le tableau suivant :</p><div align="center"><table class="" id="ox19" border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="3" cellspacing="0"><tbody><tr><td width="8%">temps <i>t</i> <br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,1<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,2<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,3<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,4<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,5<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,6<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,7<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,8<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0,9<br></td><td style="text-align: center;" width="8%">1<br></td></tr><tr><td width="8%">vitesse <i>v</i><br></td><td style="text-align: center;" width="8%">0<br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td></tr></tbody></table></div><br><p>2) Représenter graphiquement <i>v</i> en fonction de <i>t</i>.<br>3) Quelle semble être la vitesse limite du ballon ?</p><br><br><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-89818168433672078202009-10-09T02:30:00.001-07:002009-10-09T02:30:49.236-07:00<h1>Devoir de Mathématiques<br></h1>
<p><i>D'après Hyperbole TS, exercice 57 page 34</i></p><h2>Etude d'une fonction impaire</h2><p><i>f</i> est la fonction définie sur <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5Cmathbb%7BR%7D" alt="\mathbb{R}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> par <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29%3Dx%2B1-%5Cfrac%7B2e%5Ex%7D%7Be%5Ex%2B1%7D" alt="f(x)=x+1-\frac{2e^x}{e^x+1}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p>On note <span style="font-family: Comic Sans MS;">C</span> sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.</p><p><br></p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p>1. Démontrer que <i>f</i> est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel <i>x</i>, <i>f</i> (-<i>x</i>) = -<i>f</i> (<i>x</i>).<br>Que peut-on en déduire pour la courbe <span style="font-family: Comic Sans MS;">C</span> ?<br><br>2. a) Démontrer que pour tout réel <i>x</i>, <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29%3Dx%2B1-%5Cfrac%7B2%7D%7B1%2Be%5E%7B-x%7D%7D" alt="f(x)=x+1-\frac{2}{1+e^{-x}}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.<br>b) En déduire la limite de <i>f</i> en <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%2B%5Cinfty" alt="+\infty" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> ?<br><br>3. a) Démontrer que pour tout réel <i>x</i>, <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=f%28x%29-%28x-1%29%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Be%5Ex%2B1%7D" alt="f(x)-(x-1)=\frac{2}{e^x+1}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.<br>b) En déduire que la droite <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5CDelta%20" alt="\Delta " class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> d'équation <i>y</i> = <i>x</i> - 1 est asymptote à <span style="font-family: Comic Sans MS;">C</span> en <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%2B%5Cinfty" alt="+\infty" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.<br>c) Préciser la position de <span style="font-family: Comic Sans MS;">C</span> par rapport à <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5CDelta%20" alt="\Delta " class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.<br><br>4. Etudier les variations de <i>f</i> sur <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5B0%3B%20%2B%5Cinfty%5B" alt="[0; +\infty[" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.<br><br>5. Tracer la courbe <span style="font-family: Comic Sans MS;">C</span>, la tangente à <span style="font-family: Comic Sans MS;">C</span> au point O et les asymptotes <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5CDelta%20" alt="\Delta " class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5CDelta%20%27" alt="\Delta '" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> (on remarquera de <span style="font-family: Comic Sans MS;">C</span> admet une asymptote <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=%5CDelta%20%27" alt="\Delta '" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> en <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=-%5Cinfty" alt="-\infty" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> ).<br><br>La correction se trouve <a title="ici" target="_blank" href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/devoirs-2009-2010/dm-ts-2009-2010-03-cor.pdf" id="mlgm">ici</a>...<br><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-49371473554881058562009-09-27T06:17:00.001-07:002009-09-27T06:20:07.038-07:00<h1>Préparation de l'épreuve pratique de mathématiques<br></h1>
<h2>Exercice 1</h2><p>Soit <i>C</i><sub>1</sub> et <i>C</i><sub>2</sub> les courbes d'équations respectives <i>y</i>=exp(<i>x</i>) et <i>y</i>=exp(-<i>x</i>) dans un repère orthonormal du plan.</p><p>Soit <i>a</i> un nombre réel quelconque. </p><p>On désigne respectivement par M et N les points de <i>C</i><sub>1</sub> et <i>C</i><sub>2</sub> d'abscisse <i>a</i> et par (T<sub>1</sub>) et (T<sub>2</sub>) les tangentes à <i>C</i><sub>1</sub> et <i>C</i><sub>2</sub> en M et N.</p><p>Les droites (T<sub>1</sub>) et (T<sub>2</sub>) coupent respectivement l'axe des abscisses en P et Q.</p><p>1. Avec un logiciel de géométrie dynamique (ou une calculatrice graphique) construire les courbes <i>C</i><sub>1</sub> et <i>C</i><sub>2</sub> et les droites (T<sub>1</sub>) et (T<sub>2</sub>). Que peut-on remarquer pour les droites (T<sub>1</sub>) et (T<sub>2</sub>) ?</p><p>2. A l'aide du logiciel émettre une conjecture à propos de la longueur du segment [PQ].</p><p>3. Démontrer la conjecture émise à la question 2.</p><br><h2>Exercice 2</h2><p>On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d'une maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluies pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.</p><p>On donne ci-dessous le plan de cette façade ainsi que quelques dimensions, exprimées en mètre.</p><p><br></p><p style="text-align: center;"><img src="http://docs.google.com/drawings/image?id=suhZ5Dow-fUSbS_gkHPvxfA&w=400&h=400&rev=57&ac=1"><br></p><p>Sur ce plan :</p><p>- les 3 tuyaux sont représentés par les segments [MA], [MB] et [MH] <br></p><p>- (MH) est la médiatrice de [DC].</p><p>Il s'agit de trouver, sur la façade de cette maison, la position du point M qui minimise la longueur totale des tuyaux.</p><br><p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-55825190926134639482009-09-21T09:50:00.001-07:002009-09-21T11:59:40.671-07:00<h1>Etude d'une suite<br></h1>
<p>On considère la suite <i>u<sub>n</sub></i> définie par <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=u_0%3D0" alt="u_0=0" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;"> et <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=u_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2-u_n%7D" alt="u_{n+1}=\frac{1}{2-u_n}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p>1) En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10<sup>-3</sup> près, compléter le tableau suivant :</p><p></p><div align="center"><table class="" id="npaj" border="1" bordercolor="#000000" cellpadding="3" cellspacing="0"><tbody><tr><td width="8%"><i>n</i><br></td><td width="8%">0<br></td><td width="8%">1<br></td><td width="8%">2<br></td><td width="8%">3<br></td><td width="8%">4<br></td><td width="8%">5<br></td><td width="8%">6<br></td><td width="8%">7<br></td><td width="8%">8<br></td><td width="8%">9<br></td><td width="8%">10<br></td></tr><tr><td width="8%"><i>u<sub>n</sub></i><br></td><td width="8%">0<br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td><td width="8%"><br></td></tr></tbody></table></div> <p>Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite <i>u<sub>n</sub></i> ?</p><p><br></p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><p>2) Calculer les valeurs exactes de <i>u</i><sub>1</sub>, <i>u</i><sub>2</sub>, <i>u</i><sub>3</sub>, <i>u</i><sub>4</sub>. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression de <i>u<sub>n</sub></i> en fonction de <i>n</i> ? Démontrer cette conjecture par récurrence.</p><p><br></p><p>3) En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite <i>u<sub>n</sub></i> est croissante et que sa limite est 1.</p><p><br></p><p>4) On se propose ici de retrouver l'expression de <i>u<sub>n</sub></i> en fonction de <i>n</i> par une autre méthode.</p><p>On considère la suite <i>v<sub>n</sub></i> définie par <img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chs=1x0&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl=v_n%3D%5Cfrac%7B2u_n%7D%7B1-u_n%7D" alt="v_n=\frac{2u_n}{1-u_n}" class="ee_img tr_noresize" eeimg="1" style="vertical-align: middle;">.</p><p>a) Calculer <i>v</i><sub>0</sub>, <i>v</i><sub>1</sub>, <i>v</i><sub>2</sub>, <i>v</i><sub>3</sub>, <i>v</i><sub>4</sub>. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite <i>v<sub>n</sub></i> ?</p><p>b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de <i>v<sub>n</sub></i> en fonction de <i>n</i>, puis une expression de <i>u<sub>n</sub></i> en fonction de <i>n</i>.</p><p><br></p>(voir la solution <a title="ici" target="_blank" href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/suites/etude-suite.pdf" id="fm1-">ici</a>...)<br><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-45340418519304637062009-09-20T09:53:00.001-07:002009-09-20T09:53:11.428-07:00<h1>Etude d'une équation différentielle<br></h1>
<p>On se propose d'étudier les fonctions <i>f</i> dérivables sur [0;+∞[ vérifiant les conditions :</p><p>- (1) pour tout réel <i>x</i> de [0;+∞[, <i>f</i> (<i>x</i>).<i>f '</i>(<i>x</i>) = 1<br></p><p>- (2)<i> f</i> (0) = 1<br></p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><h2>Partie 1</h2><p>On suppose qu'il existe une fonction <i>f</i> vérifiant les conditions précédentes.</p><p>En utilisant la méthode d'Euler avec un pas égal à 0,1, déterminer des valeurs approchées de <i>f</i>(<i>x</i>) pour <i>x</i> allant de 0,1 à 0,5.</p><h2>Partie 2</h2><p>On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant les conditions (1) et (2) est nécessairement strictement positive sur [0;+∞[.</p><p>a) Montrer que si la fonction <i>f</i> vérifie les conditions (1) et (2), alors <i>f</i> ne s'annule pas sur [0;+∞[.</p><p>b) On suppose que la fonction <i>f</i> vérifie les conditions (1) et (2) et qu'il existe un réel <i>a</i> strictement positif tel que <i>f</i> (<i>a</i>) < 0. Qu'en déduit-on pour l'équation <i>f</i>(<i>x</i>)=0 sur [0; <i>a</i>] ?<br></p><p>c) Que peut-on conclure ?</p><h2>Partie 3</h2><p>a) Soit <i>f</i> une fonction vérifiant les conditions (1) et (2) et soit <i>g</i> la fonction définie sur [0; +∞[ par <i>g</i>(<i>x</i>) = [<i>f</i> (<i>x</i>)]<sup>2</sup> - 2<i>x</i>. Démontrer que <i>g</i> est une fonction constante et déterminer cette constante.</p><p>b) Déduire des questions précédentes l'expression de <i>f</i> (<i>x</i>) pour <i>x</i> réel positif.<br></p><p>c) En utilisant cette expression, déterminer les valeurs arrondies au millième de <i>f</i>(0,1), <i>f</i>(0,2), <i>f</i>(0,3), <i>f</i>(0,4) et <i>f</i>(0,5). Comparer ces valeurs avec celles obtenues avec la méthode d'Euler.</p><p><br></p><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-12755783128425737392009-09-17T05:19:00.001-07:002009-09-20T11:23:32.172-07:00<div><h1>Devoir maison n°1</h1>
<h2>Exercice 1</h2>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"><img style="width: 271px; height: 385px; float: left; margin-left: 10pt; margin-right: 10pt;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_651vzsdzfgq_b" alt="" border="0"></p>
<p><br></p><p>
<br></p>
<p>On veut déterminer une fonction <i>f</i> définie sur l'intervalle ] -∞ ; 3 [ et de la forme <img style="width: 150px; height: 40px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_658dsz5fnhj_b"> qui corresponde à la courbe fournie, sachant que la courbe passe par A et que la droite (AB) est tangente à la courbe.</p>
<p> 1) Exprimer <i>f</i> '(<i>x</i>) </p>
<p> 2) Donner les coordonnées de A et le coefficient directeur de (AB)</p>
<p> 3) Déterminer l'expression de <i>f</i> (<i>x</i>).</p>
<p> 4) Déterminer <img style="width: 108px; height: 40px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_660d93j5bcn_b">; interpréter géométriquement votre résultat.</p>
<p><br></p>
<div style="clear:both"></div>
<h2>Exercice 2</h2>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"><img style="width: 322px; height: 233px; float: left; margin-left: 10pt; margin-right: 10pt;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_652c4th9tfj_b" alt="" border="0"></p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"><br>
</p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"><br>
</p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;">Dans le repère ci-contre sont représentées une fonction et sa dérivée. <br>
</p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;">Dire, en justifiant, à quoi correspond chacune des courbes.</p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"><br>
</p>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p><p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p>
<div style="clear:both"></div>
<h2>Exercice 3</h2>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;">La suite <i>u</i> est définie par son terme <i>u<sub>0</sub></i> et la relation de récurrence <img style="width: 121px; height: 37px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_657grfshq5k_b">, pour tout <i>n</i> de ℕ.</p>1) Que peut-on dire de la suite <i>u</i> dans le cas où <i>u<sub>0</sub></i> = 3 ?<br>
</div><i> <u>On suppose désormais que u</u><sub><u>0</u></sub></i><i><u> ≠ 3.</u></i>
<br>2) On définit alors la suite <i>v</i> par <i>v<sub>n</sub></i> = <i>u<sub>n</sub></i> - 3, pour tout entier naturel <i>n</i>.
<br> a) A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer les 15 premiers termes de chacune des suites <i>u</i> et <i>v </i>lorsque<i> u</i><sub>0</sub> = 6. (Si vous utilisez votre calculatrice, recopier les résultats, sinon imprimer)<br> b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de la suite <i>v</i> ?
<br> c) Démontrer votre conjecture.<br> d) Exprimer <i>v<sub>n</sub></i>, puis <i>u<sub>n</sub></i> en fonction de <i>n</i>. Quelle est la limite de la suite <i>u</i> ?
<div><ol>
</ol></div><br><a title="Correction" target="_blank" href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/devoirs-2009-2010/dm01-cor.pdf" id="poji">Correction</a>...<br><br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1464230448306483039.post-16603634878280644402009-09-14T13:21:00.001-07:002009-09-22T11:50:21.413-07:00<h1>Fonctions dérivables<br>
</h1>
<h2>Exercice 1</h2>
<p style="margin-left: 0pt; margin-right: 0pt;"></p>
Soit <i>f</i> la fonction définie sur ℝ par <img style="width: 191px; height: 40px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_66382vxkr57_b">.<br>
1) Calculer <i>f '</i>(<i>x</i>) et en déduire les variations de <i>f</i> .<br>
2) Soit C<i><sub>f</sub></i> la courbe représentative de f.<br>
- Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de C<i><sub>f</sub></i>.<br>
- Déterminer une équation de la droite T tangente à C<i><sub>f </sub></i>en A.<br>
<p>3) Etudier la position relative de la courbe C<i><sub>f </sub></i>et de la droite T.</p>
<p>(en appelant <i>g</i>(<i>x</i>) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de <i>d</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) - <i>g</i>(<i>x</i>))</p>
<p>(voir <a title="correction" target="_blank" href="http://labomath.free.fr/faidherbe/ts/fonctions/position-courbe-tangente.pdf" id="oz.b">correction</a>...)<br>
</p>
<h2>Exercice 2</h2>
<p>Soit <i>f</i> la fonction définie sur ℝ par <img style="width: 171px; height: 19px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_664ftvg6pc3_b"> et C<i><sub>f</sub></i> sa courbe représentative.</p><p>1) Déterminer une équation de la droite T tangente à C<i><sub>f</sub></i> en -1.</p><p>2) En traçant C<i><sub>f </sub></i>et T, il semble que T est tangente à la courbe en un second point. Est-ce exact ?</p><p><br></p><h2>Exercice 3</h2><p>Soit <i>f</i> la fonction définie sur [0; +∞[ par <img style="width: 95px; height: 19px;" src="http://docs.google.com/File?id=dcddfxs8_665cbs3z5cq_b">.</p><p>1) Montrer que <i>f</i> est dérivable sur ]0; +∞[ et calculer sa dérivée.</p><p>2) La fonction <i>f</i> est-elle dérivable en 0 ?<br></p>
<br>Bruno K.http://www.blogger.com/profile/08140323969022649147noreply@blogger.com0