Exomathiques

vendredi 9 octobre 2009

Devoir de Mathématiques

D'après Hyperbole TS, exercice 57 page 34

Etude d'une fonction impaire

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x+1-\frac{2e^x}{e^x+1}.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'origine O.


1. Démontrer que f est une fonction impaire, c'est à dire que pour tout réel x, f (-x) = -f (x).
Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. a) Démontrer que pour tout réel x, f(x)=x+1-\frac{2}{1+e^{-x}}.
b) En déduire la limite de f  en +\infty ?

3. a) Démontrer que pour tout réel x, f(x)-(x-1)=\frac{2}{e^x+1}.
b) En déduire que la droite \Delta d'équation y = x - 1 est asymptote à C en +\infty.
c) Préciser la position de C par rapport à \Delta .

4. Etudier les variations de f  sur [0; +\infty[.

5. Tracer la courbe C, la tangente à C au point O et les asymptotes \Delta et \Delta ' (on remarquera de C admet une asymptote \Delta ' en -\infty ).

La correction se trouve ici...