Exomathiques

dimanche 24 janvier 2010

Un truc de banquier

Partie A

On place un capital C0 avec intérêts composés au taux de 5%. On appelle Cn le capital obtenu au bout de n années.

1) Démontrer que la suite Cn est une suite géométrique, puis exprimer Cn en fonction de C0 et de n.

2. a) A l'aide d'un tableur, construire un tableau à 2 colonnes donnant le capital Cn obtenu au bout de n années, pour n allant de 0 à 50 et pour C0=1000€. Combien faut-il d'années pour que le capital dépasse 2000€ ?

b) En modifiant C0 indiquer combien il faut d'années pour que le capital passe de 500€ à 1000€, puis de 1600€ à 3200€, et de 150€ à 300€ ?

c) Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats précédents ?

3) En utilisant la fonction logarithme népérien déterminer à partir de quelle valeur de n on a 1,05n ≥ 2 ? Expliquer pourquoi la réponse à cette question confirme la conjecture précédente.


Partie B

Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d'un capital, placé à intérêts composés, de la façon suivante :

"Si t est le taux d'intérêt (en %), le capital double au bout de \frac {70} t années."

1) Cette règle est-elle confirmée par les résultats de la partie A ?

2) Etablir, pour x ≥ 0, l'encadrement :

x-\frac{x^2} 2 \leq \text{ln}(1+x)\leq x

3) En déduire un majorant de l'erreur dans l'approximation ln(1+x) ≈ x.

4) On rappelle qu'au bout de n années de placement au taux t, la valeur d'un capital est multipliée par \left(1+\frac t {100} \right)^n.

Justifier le calcul des banquiers pour les petites valeurs de t (t  ≤ 14).

5) Enoncer des règles analogues pour déterminer mentalement le temps au bout duquel un capital triple, quintuple, décuple.


Un corrigé est disponible ici...


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