Un truc de banquier
Partie A
On place un capital C0 avec intérêts composés au taux de 5%. On appelle Cn le capital obtenu au bout de n années.
1) Démontrer que la suite Cn est une suite géométrique, puis exprimer Cn en fonction de C0 et de n.
2. a) A l'aide d'un tableur, construire un tableau à 2 colonnes donnant le capital Cn obtenu au bout de n années, pour n allant de 0 à 50 et pour C0=1000€. Combien faut-il d'années pour que le capital dépasse 2000€ ?
b) En modifiant C0 indiquer combien il faut d'années pour que le capital passe de 500€ à 1000€, puis de 1600€ à 3200€, et de 150€ à 300€ ?
c) Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats précédents ?
3) En utilisant la fonction logarithme népérien déterminer à partir de quelle valeur de n on a 1,05n ≥ 2 ? Expliquer pourquoi la réponse à cette question confirme la conjecture précédente.
Partie B
Les banquiers calculent mentalement le temps approximatif de doublement d'un capital, placé à intérêts composés, de la façon suivante :
"Si t est le taux d'intérêt (en %), le capital double au bout de années."
1) Cette règle est-elle confirmée par les résultats de la partie A ?
2) Etablir, pour x ≥ 0, l'encadrement :
3) En déduire un majorant de l'erreur dans l'approximation ln(1+x) ≈ x.
4) On rappelle qu'au bout de n années de placement au taux t, la valeur d'un capital est multipliée par .
Justifier le calcul des banquiers pour les petites valeurs de t (t ≤ 14).
5) Enoncer des règles analogues pour déterminer mentalement le temps au bout duquel un capital triple, quintuple, décuple.
Un corrigé est disponible ici...
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