Probabilités. Jouons aux dés.

Exercice du concours général 2009

Je joue avec 4 dés à 20 faces. Chacun de ces dés, dont la forme est un icosaèdre, a ses faces numérotées de 1 à 20. Lorsqu'on le lance, chaque face apparaît sur le dessus avec la même probabilité de .

Lorsque, parmi les 4 dés, une face apparaît au moins deux fois, je marque le nombre de points correspondant à cette face. Ainsi :

• avec la combinaison 3-4-12-16, je ne marque rien;
• avec la combinaison 2-8-11-11, je marque 11 points;
• avec la combinaison 4-9-9-9, je marque 9 points;
• avec la combinaison 7-7-14-14, je marque 21 points;
• avec la combinaison 2-2-2-2, je marque 2 points.

 

1. Quelle est la probabilité que je ne marque rien ?
2. Soit a compris entre 1 et 20. Déterminer pour tout k ≤ 4 la probabilité d'avoir exactement k nombres a parmi les dés lancés.
3. Pour tout a on note X_a la variable aléatoire qui vaut 1 s'il y a au moins deux dés égaux à a parmi les quatre du lancer, et 0 sinon.
Préciser la loi de X_a et exprimer le gain G à l'aide de ces variables.
Combien de points puis-je espérer en moyenne ?
4. Quelle est la probabilité que je marque exactement 8 points ?

On suppose à partir de maintenant qu'après avoir lancé les 4 dés, je sois autorisé à relancer entre 0 et 4 dés pour améliorer mon score.

5. J'ai obtebnu 11-7-2-2. J'hésite entre tout relancer, garder le 11 et garder les deux 2. Que dois-je faire ?
6. On suppose que j'ai obtenu 4 dés différents a₁ > a₂ > a₃ > a₄. Quels dés dois-je relancer ?