Exomathiques

lundi 21 septembre 2009

Etude d'une suite

On considère la suite un définie par u_0=0 et u_{n+1}=\frac{1}{2-u_n}.

1) En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10-3 près, compléter le tableau suivant :

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
un
0










Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite un ?


2) Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3, u4. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression de un en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence.


3) En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite un est croissante et que sa limite est 1.


4) On se propose ici de retrouver l'expression de un en fonction de n par une autre méthode.

On considère la suite vn définie par v_n=\frac{2u_n}{1-u_n}.

a) Calculer v0, v1, v2, v3, v4. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite vn ?

b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de vn en fonction de n, puis une expression de un en fonction de n.


(voir la solution ici...)

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