Exomathiques

mardi 24 novembre 2009

Probabilités et tableur

A- Etude d'un jeu

On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1 à 6.
Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus.
Si la somme obtenue est égale à 9, Alice gagne. Si la somme obtenue est égale à 10, Bob gagne. Dans tous les autres cas la partie est annulée.
Le but de l'exercice est de déterminer qui, d'Alice ou de Bob, a la plus grande probabilité de gagner.

1) Etude expérimentale

a) Sur un tableur, réaliser une simulation de cette expérience aléatoire.
b) Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de taille 1000 de cette expérience aléatoire, et déterminer, pour cette simulation, les fréquences de réussite respectives d'Alice et de Bob.
c) Est-il possible de conjecturer qui d'Alice ou de Bob a la plus grande probabilité de gagner ?

2) Etude mathématique

Calculer la probabilité de gagner d'Alice et de Bob et indiquer qui d'Alice ou de Bob a la plus grande probabilité de gagner.

B- Marche aléatoire

Un pion est placé sur la case de départ :





Départ




Le lancer d'une pièce bien équilibrée détermine le déplacement du pion :
- PILE, le pion se déplace vers la droite
- FACE, le pion se déplace vers la gauche.
Un trajet est une succession de 4 déplacements. On s'intéresse à l'évènement A : "le pion est revenu à la case Départ après 4 déplacements".
A chaque lancer, on associe le réel +1 si le résultat est PILE et -1 si le résultat est FACE.

1) Etude expérimentale

Simuler à l'aide d'un tableur de 200 à 2000 trajets du pion et estimer la fréquence de l'évènement A.
Compléter le tableau suivant :
Nombre d'essais
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Fréquence de A










 

2) Etude mathématique

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme des quatre réels.
a) Calculer les valeurs possibles de X et le nombre de trajets possibles.
b) Calculer la probabilité de A.


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