Exomathiques

samedi 7 novembre 2009

Devoir de mathématiques

Exercice 1

Soit f  la fonction définie sur \mathbb R par f(x)=\frac {x-2}{e^x}.

1) Vérifier que f(x)=\frac{1}{e^2} \times \frac{x-2}{e^{x-2}}. En déduire la limite de f  lorsque x tend vers +\infty.

2) Calculer la limite de f  lorsque x tend vers -\infty.

3) Calculer f '(x), étudier son signe et en déduire les variations de f . Quel est le maximum de f ?

Exercice 2

(d'après Bac 2004)

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires.

1) On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.

On note A0 l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire".

On note A1 l'évènement "On a obtenu une seule boule noire".

On note A2 l'évènement "On a obtenu deux boules noires".

Calculer les probabilités de A0, A1 et A2.

2) Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.

On note B0 l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire au 2ème tirage".

On note B1 l'évènement "On a obtenu une seule boule noire au 2ème tirage".

On note B2 l'évènement "On a obtenu deux boules noires au 2ème tirage".

a) Calculer P_{A_0}(B_0), P_{A_1}(B_0) et P_{A_2}(B_0).

b) En déduire P(B0).

c) Calculer P(B1) et P(B2).

d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ?

3) On considère l'évènement R "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'urne".

Montrer que P(R)=\frac 1 3.


La correction est disponible ici...

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