Exomathiques

mardi 8 décembre 2009

Sommes d'entiers

Somme des entiers naturels de 1 à n

1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}  ou \sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}

Preuves sans mots

ou


Somme des premiers nombres impairs

1+3+5+...+(2n-1) = n^2 ou \sum_{k=1}^{n}{(2k-1)} =n^2

Preuve sans mots


Somme des carrés des entiers naturels de 1 à n

1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ou \sum_{k=1}^{n}{k^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Preuves sans mots

ou


Somme des cubes des entiers naturels de 1 à n

1^3+2^3+...+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 ou \sum_{k=1}^{n}{k^3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Preuves sans mots

ou



Problème 1

On écrit la suite des nombres impairs pour former un triangle comme ci-dessous :

 1





1
 3
 5




8
 7
 9
 11



27
 13
 15
 17
 19


64
 21
 23
 25
 27
 29

125

On calcule la somme des termes écrits sur chaque ligne et on voit apparaître une propriété.

Enoncer cette propriété et la démontrer.


Problème 2

On calcule des sommes de puissances des entiers naturels de 1 à n en utilisant des polynômes.

1) Somme des entiers de 1 à n

a) Soit P(x) = ax2 + bx + c un polynôme du second degré.

Déterminer les coefficients a, b et c  pour que P(x) - P(x - 1) = x.

b) On considère alors la suite d'égalités :

P(n) - P(n - 1) = n

P(n - 1) - P(n - 2) = n-1

P(n - 2) - P(n - 3) = n-2

...

P(1) - P(0) = 1

Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?

En déduire la formule donnant Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n.

2) Somme des carrés des entiers de 1 à n

a) Soit Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d un polynôme de degré 3.

Déterminer les coefficients a, b, c et d  pour que Q(x) - Q(x - 1) = x2.

b) On considère alors la suite d'égalités :

Q(n) - Q(n - 1) = n2

Q(n - 1) - Q(n - 2) = (n-1)2

Q(n - 2) - Q(n - 3) = (n-2)2

...

Q(1) - Q(0) = 12


Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?

En déduire la formule donnant Cn = 12 + 22 + 32 + ... + n2.

3) Somme des cubes des entiers de 1 à n

Retrouver la formule donnant Dn = 13 + 23 + 33 + ... + n3.



Sources et compléments :

1 - Les "preuves sans mots" sont tirées du livre "Proofs without words" de Roger B. Nelsen. On peut en lire des extraits sur Google-Livres.

2 - Voir l'article Wikipédia Somme (arithmétique)


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