Devoir maison n°1

Exercice 1

On veut déterminer une fonction f définie sur l'intervalle ] -∞ ; 3 [ et de la forme   qui corresponde à la courbe fournie, sachant que la courbe passe par A et que la droite (AB) est tangente à la courbe.

1) Exprimer f '(x)

2) Donner les coordonnées de A et le coefficient directeur de (AB)

3) Déterminer l'expression de f (x).

4) Déterminer ; interpréter géométriquement votre résultat.

Exercice 2

Dans le repère ci-contre sont représentées une fonction et sa dérivée.

Dire, en justifiant, à quoi correspond chacune des courbes.

Exercice 3

La suite u est définie par son terme u₀ et la relation de récurrence , pour tout n de ℕ.

1) Que peut-on dire de la suite u dans le cas où u₀ = 3 ?

    On suppose désormais que u₀ ≠ 3.
2) On définit alors la suite v par v_n = u_n - 3, pour tout entier naturel n.
    a) A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer les 15 premiers termes de chacune des suites u et v lorsque u₀ = 6. (Si vous utilisez votre calculatrice, recopier les résultats, sinon imprimer)
    b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de la suite v ? 
    c) Démontrer votre conjecture.
    d) Exprimer v_n, puis u_n en fonction de n. Quelle est la limite de la suite u ?

Correction...

Fonctions dérivables

Exercice 1

Soit f  la fonction définie sur ℝ par .
1) Calculer f '(x) et en déduire les variations de f .
2) Soit C_f  la courbe représentative de f.
- Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de C_f.
- Déterminer une équation de la droite T tangente à C_f en A.

3) Etudier la position relative de la courbe C_f  et de la droite T.

(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x) = f(x) - g(x))

(voir correction...)

Exercice 2

Soit f  la fonction définie sur ℝ par   et C_f  sa courbe représentative.

1) Déterminer une équation de la droite T tangente à C_f  en -1.

2) En traçant C_f  et T, il semble que T est tangente à la courbe en un second point. Est-ce exact ?

Exercice 3

Soit f  la fonction définie sur [0; +∞[ par .

1) Montrer que f est dérivable sur ]0; +∞[ et calculer sa dérivée.

2) La fonction f est-elle dérivable en 0 ?