Exomathiques

samedi 12 décembre 2009

Calculs sur les nombres complexes

Tous les résultats doivent être donnés sous la forme algébrique des nombres complexes.

1) On donne z₁ = 5 - 2i et z₂ = -2 + 7i. Calculer $3z_1 - 5\bar{z_2}$ et $3\bar{z_1} - 5z_2$ .

2) On donne z₁ = 4 - 3i et z₂ = -3 + i. Calculer z₁z₂ , puis $\bar{z_1}\bar{z_2}$ .

3) Calculer $\frac{1+2i}{4-5i}$ .

4) Soit z = 2 - i. Calculer z² et z³.

5) On donne z₁ = 3 + 4i et z₂ = 2 - 3i. Calculer z₁z₂ , |z₁|, |z₂| et |z₁z₂|.

6) On donne z₁ = 1 - 5i et z₂ = -2 - i. Calculer |z₁|, |z₂| et |z₁ + z₂|.

7) Résoudre dans ℂ l'équation z - 5i = iz + 2.

8) Résoudre dans ℂ l'équation z² + z + 2 = 0.

9) Résoudre dans ℂ l'équation $2z - i\bar{z}=1$ .

10) Démontrer que pour tout complexe z non nul, $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ . En déduire les solutions dans ℂ de l'équation $\frac{1}{z}-\bar{z}=0$ .

La correction se trouve ici ...

mercredi 9 décembre 2009

Etude de fonction avec exponentielle

Partie A

On considère g la fonction définie sur ℝ par g(x) = e^x+ x - 1.
1. Calculer la dérivée de g et en déduire les variations de la fonction g.
2. Calculer les limites de g en -∞ et en +∞.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.
4. Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x).

Partie B

La fonction f est définie sur ℝ par $f(x)=\frac{(x-2)e^x}{e^x+1}$ .
1. Déterminer $\lim_{x \rightarrow -\infty}{f(x)}$ . Que peut on en déduire au voisinage de -∞ ?
On notera ∆' l'asymptote à C_f en -∞.
2. Déterminer $\lim_{x \rightarrow +\infty}{f(x)}$ .
3. Montrer, que pour tout réel x, $f(x)=x-2-\frac{x-2}{e^x+1}$ .
4. En déduire que la droite ∆ d'équation y = x-2 est asymptote oblique à C_f en +∞.
5. Montrer que, pour tout réel x, $f'(x)=\frac{e^x \times g(x)}{(e^x+1)^2}$ .
6. En vous servant de la partie A, déterminer le signe de f '(x).
7. En déduire les variations de f et dresser son tableau de variations.
8. Déterminer la position de C_f par rapport à ses asymptotes.
9. Tracer ∆, ∆' et C_f dans un repère orthonormal.

La correction se trouve ici ...

mardi 8 décembre 2009

Sommes d'entiers

Somme des entiers naturels de 1 à n

$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ ou $\sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}$

Preuves sans mots

ou

Somme des premiers nombres impairs

ou $\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)} =n^2$

Preuve sans mots

Somme des carrés des entiers naturels de 1 à n

$1^2+2^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ou $\sum_{k=1}^{n}{k^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Preuves sans mots

ou

Somme des cubes des entiers naturels de 1 à n

$1^3+2^3+...+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ ou $\sum_{k=1}^{n}{k^3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

Preuves sans mots

ou

Problème 1

On écrit la suite des nombres impairs pour former un triangle comme ci-dessous :

1						1
3	5					8
7	9	11				27
13	15	17	19			64
21	23	25	27	29		125

On calcule la somme des termes écrits sur chaque ligne et on voit apparaître une propriété.

Enoncer cette propriété et la démontrer.

Problème 2

On calcule des sommes de puissances des entiers naturels de 1 à n en utilisant des polynômes.

1) Somme des entiers de 1 à n

a) Soit P(x) = ax² + bx + c un polynôme du second degré.

Déterminer les coefficients a, b et c pour que P(x) - P(x - 1) = x.

b) On considère alors la suite d'égalités :

P(n) - P(n - 1) = n

P(n - 1) - P(n - 2) = n-1

P(n - 2) - P(n - 3) = n-2

...

P(1) - P(0) = 1

Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?

En déduire la formule donnant S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n.

2) Somme des carrés des entiers de 1 à n

a) Soit Q(x) = ax³ + bx² + cx + d un polynôme de degré 3.

Déterminer les coefficients a, b, c et d pour que Q(x) - Q(x - 1) = x².

b) On considère alors la suite d'égalités :

Q(n) - Q(n - 1) = n²

Q(n - 1) - Q(n - 2) = (n-1)²

Q(n - 2) - Q(n - 3) = (n-2)²

...

Q(1) - Q(0) = 1²

Qu'obtient-on en ajoutant ces égalités membre à membre ?

En déduire la formule donnant C_n = 1² + 2² + 3² + ... + n².

3) Somme des cubes des entiers de 1 à n

Retrouver la formule donnant D_n = 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³.

Sources et compléments :

1 - Les "preuves sans mots" sont tirées du livre "Proofs without words" de Roger B. Nelsen. On peut en lire des extraits sur Google-Livres.

2 - Voir l'article Wikipédia Somme (arithmétique)