Préparation de l'épreuve pratique de mathématiques

Exercice 1

Soit C₁ et C₂ les courbes d'équations respectives y=exp(x) et y=exp(-x) dans un repère orthonormal du plan.

Soit a un nombre réel quelconque.

On désigne respectivement par M et N les points de C₁ et C₂ d'abscisse a et par (T₁) et (T₂) les tangentes à C₁ et C₂ en M et N.

Les droites (T₁) et (T₂) coupent respectivement l'axe des abscisses en P et Q.

1. Avec un logiciel de géométrie dynamique (ou une calculatrice graphique) construire les courbes C₁ et C₂ et les droites (T₁) et (T₂). Que peut-on remarquer pour les droites (T₁) et (T₂) ?

2. A l'aide du logiciel émettre une conjecture à propos de la longueur du segment [PQ].

3. Démontrer la conjecture émise à la question 2.

Exercice 2

On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d'une maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluies pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.

On donne ci-dessous le plan de cette façade ainsi que quelques dimensions, exprimées en mètre.

Sur ce plan :

- les 3 tuyaux sont représentés par les segments [MA], [MB] et [MH]

- (MH) est la médiatrice de [DC].

Il s'agit de trouver, sur la façade de cette maison, la position du point M qui minimise la longueur totale des tuyaux.